Procediamo per esempio:
posto che per numeri a meno di tre cifre la prima cifra si calcola
mentalmente, per determinare le cifre della parte intera si staccano gruppi
di tre cifre da destra a sinistra
65892097
diventa:
65.892.097
la parte intera sarà a tre cifre. la prima è la radice cubica del cubo
massimo contenuto nel gruppo più significativo: 4 il cui cubo è 64. La
seconda cifra si ottiene aggiungendo alla prima una cifra in modo tale che
il cubo risulti il massimo contenuto nel numero formato dai primi due
blocchi: 65892, tuttavia per stimare la successiva cifra ci si avvale del
seguente metodo: il cubo del numero 4 si riporta sotto il 65 e si considera
la differenza, che nel nostro caso vale 1, alla destra di questo numero si
copia la prima cifra del secondo gruppo otteniamo quindi:
18
la seconda cifra sarà non più piccola di 18/(3x4^2) ovvero si calcola il
triplo del quadrato della prima cifra che nel nostro caso supera 18 e si
scopre che la seconda cifra è maggiore o uguale di zero, quindi cercheremo
la cifra successiva partendo con lo zero. Per trovare la seconda cifra in
pratica: la si scrive alla destra della prima e si calcola il cubo del
numero ottenuto fino a che non si ottiene più un numero contenuto in 65.892:
40 x 40 x 40 = 64000
mentre: 41 x 41 = 64000 + 3 x 1600 x 1 + 3 x 40 x 1^2 + 1 ^3 > 65000
si considera adesso quel che resta:
65892 - 64000 = 1892
vale ancora il solito criterio: a 1892 si aggiunge la prima cifra del terzo
gruppo: 18920 e si divide per il triplo del quadrato delle cifre finora
stabilite: 3 x 40^2 = 3 x 1600 = 5400. Quindi la terza cifra sarà maggiore o
uguale di 3. Si prova adesso con 403^3, 404^3 ... fino a che non si supera
il numero formato dai primi tre gruppi... etc.. nel nostro caso 403^3 =
65450827 e quel che resta è 441270 per proseguire si stacca una virgola e si
aggiungono tre zeri proseguendo al solito modo per cui:
4412700 / (3 x 403^2) = 9
e quindi abbiamo la prima cifra decimale dopo la virgola:
403,9 ...
per sicurezza controlliamo:
4039^3 = 65.890.311.319 < 65.892.097
Ma mano diventa più faticoso aggiungere cifre significative per via del
fatto che occorre valutare i cubi, però non è differente dalla radice
quadrata e per la radice quarta è la stessa solfa. Dove si va ad aggiungere
una cifra significativa al resto via via ottenuto e si cerca il limite
inferiore dividendo per il quadruplo del cubo delle cifre trovate. La
ragione del procedimento sta tutta nel fatto che, per esempio, (40+3)^4=
40^4 + 4 x 40^3 + ...